Detalhes - Dissertação do PROFMAT
Aluno: MARCOS JOSÉ MIGUEL
UFRPE - Universidade Federal Rural de Pernambuco - Recife - PE
Dissertação
Título
CONSTRUÇÕES COM RÉGUA E COMPASSO
Resumo
Os problemas de construções sempre ocuparam posição de destaque na Geometria. Apenas
com o uso de régua e compasso podemos executar uma diversidade enorme de construções
e em todas essas construções, a régua é utilizada apenas para traçar retas. Apesar de os
gregos utilizarem outros instrumentos, a restrição clássica à utilização apenas da régua e do
compasso era para eles um assunto de grande importância. Entre os problemas de construção
com régua e compasso, o de construir um polígono regular de n lados é provavelmente o de
maior interesse. As construções do triângulo equilátero, do quadrado, do pentágono regular e
do hexágono regular são conhecidas desde a Antiguidade e ocupam (ou já ocuparam) posição
de destaque no estudo da geometria nas escolas. No entanto, para alguns polígonos regulares
essas construções (apenas com o uso de régua e compasso) não são possíveis. Como exemplo
inicial podemos citar o heptágono regular. Existem outros problemas de construções que
merecem posição de destaque e para os quais uma construção com régua e compasso não
é possível. Como exemplos podemos citar os três problemas clássicos dos gregos: a duplica
ção do cubo (ou a construção da aresta de um cubo cujo volume é o dobro do de um
cubo de aresta dada), a trissecção de um ângulo qualquer (ou a construção de dividir um
ângulo arbitrário dado, em três partes iguais) e a quadratura do círculo (ou a construção de
um quadrado com área igual à área de um círculo dado). A importância do estudo desses
problemas reside no fato de que eles não podem ser resolvidos com régua e compasso apenas,
apesar desses instrumentos serem utilizados para resolver muitos outros problemas de
construção. A tentativa de encontrar solução para esses problemas in uenciou a geometria
grega, levando a descobertas importantes. Como exemplos dessas descobertas podemos citar
as secções cônicas, algumas curvas cúbicas e quárticas e várias curvas transcendentes. Posteriormente
um resultado de grande importância foi o desenvolvimento da teoria das equações
ligadas a domínios de racionalidade, números algébricos e teoria dos grupos. Notamos com
isso que a tentativa de resolver problemas como esses sem solução resultou em um dos mais
signi cativos desenvolvimentos da Matemática. A proposta dessa dissertação é mostrar algumas
construções clássicas, como a do heptadecágono regular e tratar da impossibilidade
da construção por meio de régua e compasso, tais como duplicação de um cubo, trissecção
de um ângulo, quadratura de um círculo (nesse caso faremos apenas a indicação da prova) e
construções de polígonos regulares.
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MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL