Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: JÉSSICA BRUNA MIRANDA GUEDES

UFSJ - Universidade Federal de São João del-Rei - São João del Rei - MG

Dissertação

Título
O Teorema de Pincherle para Frações Contínuas
Resumo
O presente trabalho tem como objetivo estudar um objeto matemático ainda pouco conhecido: as frações contínuas. Apesar de muito pouco estudadas, tanto no Ensino Básico como no Ensino Superior, as frações contínuas apresentam uma vasta aplicabilidade nas mais diversas áreas: física, astronomia, música e variados problemas de Matemática Pura e Ciências Aplicadas. Além disso, no Ensino Fundamental, as frações contínuas podem ser utilizadas para explorar um tema com o qual os alunos, frequentemente, apresentam dificuldade: os números irracionais. No entanto, há de se destacar um fato primordial: nem toda fração contínua representa um número real. Posto isto, este trabalho tem foco no estudo de um ponto específico: as condições de convergência de uma fração contínua. Apresentamos dois teoremas principais a este respeito. O primeiro fornece uma condição necessária e suficiente para a convergência de uma fração contínua simples. O segundo, trata da convergência de fração contínua qualquer e é um teorema que foi desenvolvido pelo matemático italiano Salvatore Pincherle. Pincherle, que nasceu na cidade de Trieste (Itália) e viveu entre os anos de 1853 e 1936, passou a infância na cidade de Marselha (França), mas concentrou sua vida acadêmica nas Universidades de Pisa, Berlim e Bolonha, tendo deixado seu maior legado na área de Análise Funcional. No teorema de Pincherle apresentado neste trabalho, veremos que a convergência de uma fração contínua está diretamente ligada à existência de uma solução minimal da recorrência associada à fração. Além disso, o teorema fornece ainda uma equação que estabelece de forma explícita a relação entre a solução minimal e as sequências de termos que formam a fração contínua, o que permite determinar o limite da fração em caso de convergência.
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