Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: LEONARDO BARBOZA DE SOUZA

IMPA - Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - Rio de Janeiro - RJ

Dissertação

Título
Aproximações Diofantinas e a Teoria das Frações Contínuas
Resumo
O objetivo principal da nossa exposição é fornecer ao professor de matemática, considerando o aprendizado nos cursos iniciais de álgebra abstrata, maior envolvimento no estudo das aproximações diofantinas. Na presente dissertação, pretendemos estudar propriedades relativas ao conjunto dos números reais, tomando como base a teoria dos números. Para isto, admitimos como ponto de partida as noções das frações contínuas que respondem, de modo relativamente simples, muitas perguntas correlatas ao conjunto numérico. Os métodos de otimização e aproximação dos números reais por números racionais, como sugerem as aproximações diofantinas, serão exemplificados a partir de teoremas centrais, tais como os teoremas de Dirichlet e o teorema de Hurwitz- Markov. Numa segunda oportunidade, mencionamos as contribuições da história da matemática à teoria das frações contínuas, apresentando a utilidade dos números algébricos e transcendentes ao longo desse contexto, assim como algumas de suas aplicações. As equações de Pell-Fermat, como equações diofantinas, mostram um método de aproximação de raízes quadradas por números racionais de maneira bastante eficaz, e serão tratadas como exemplo do assunto desenvolvido. Ao final, indicaremos sugestões de atividades, buscando enriquecer o conhecimento do professor de matemática e algumas sugestões de trabalhos para continuidade em pesquisas futuras.
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