Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: MARCELA MELO AMORIM

UNIRIO - Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro - Rio de Janeiro - RJ

Dissertação

Título
OS DEZ PROBLEMAS DE APOLÔNIO: UMA PROPOSTA PARA O ENSINO MÉDIO
Resumo
Traçar um percurso do Problema de Apolônio ao longo da História ilustra a potencialidade de um problema clássico como motivador para novas investigações, além de possibilitar um olhar panorâmico sobre a própria Matemática e, em particular, sobre a Geometria. O objetivo deste trabalho é preparar um estudo que possa ser utilizado por alunos que se interessem pelo tema ou, por professores, em forma de um pequeno projeto. A maior preocupação foi a de organizar os dez problemas de Apolônio em ordem crescente de dificuldade, transformando-os compatíveis ao programa da Educação Básica, com a utilização do software de Geometria Dinâmica Geogebra. Em cada capítulo pode-se perceber a revisão de uma grande quantidade de tópicos da geometria. No problema PPP, revisamos a construção e a definição de mediatriz como lugar geométrico, ângulos alternos internos e congruência de triângulos. No segundo capítulo, o problema RRR trata-se da definição de bissetriz e das posições relativas de retas. No problema PPR, que compõe o terceiro capítulo, podemos revisar as relações métricas numa circunferência com suas secantes e tangentes. Estes são os três problemas mais fáceis de Apolônio. O quarto problema (PRR), apesar de ter um grau de dificuldade um pouco maior que os três primeiros, revisa os mesmos tópicos de geometria básica, priorizando o conceito de bissetriz como lugar geométrico. A partir do quinto problema, o PPC, o grau de dificuldade das construções eleva-se substancialmente. Neste problema, revisamos o conceito de mediatriz e as relações métricas na circunferência. Já no sexto capítulo, que trata o problema PRC, revisamos posições de reta e circunferência, semelhança de triângulos, distâncias entre pontos e entre ponto e reta, além de relembrar as construções feitas nos capítulos anteriores. No sétimo problema, o RRC, retomamos a construção da bissetriz, além de utilizar posições de reta e circunferência. Nos três últimos problemas, aqueles que incluem duas circunferências, veremos a dificuldade das construções aumentar, exigindo assim, a inclusão de novos conceitos. No oitavo problema, o CCP, é introduzido o conceito de homotetia, seus centros e as respectivas xii construções. Revisamos as posições relativas entre duas circunferências e a consequente relação entre os raios e a distância entre os centros. Ainda nesse capítulo recaímos no problema PPC. No estudo do problema CCR nenhum novo conceito é abordado, porém, o grau de dificuldade é recair no problema PCR que utiliza o PPR. Para isso utilizamos as construções de retas paralelas e circunferências concêntricas. E, por último, apresentamos o problema CCC que utiliza do mesmo artifício do CCR para recair no CCP.
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