Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: ADILSON FRANCISCO DA SILVA

UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Cornélio Procópio - PR

Dissertação

Título
RECORRÊNCIAS LINEARES, ISOMETRIA, CRIPTOGRAFIA E OUTRAS APLICAÇÕES ENVOLVENDO MATRIZES 2 POR 2
Resumo
O presente trabalho tem como tema principal apresentar aplicações envolvendo matrizes de ordem 2. Para tanto, inicialmente e apresentada a definição de matrizes, as operações e suas propriedades, bem como, o estudo de matrizes transposta, invertíveis e o calculo do determinante, nos restringindo a matrizes de ordem 2. Posteriormente, definimos isometria no plano como uma transformação geométrica que preserva distância e ângulos. Apresentamos as representações matriciais de rotação, translação e reflexão e mostramos que toda isometria e da forma f(u) = T(u) + w, onde T e uma aplicação linear ortogonal. Definimos matrizes semelhantes e suas propriedades e encontramos condições necessárias e suficientes para que uma matriz de ordem 2 seja diagonalizável, bem como a matriz diagonal correspondente e a matriz conjugadora. Calculamos a n-esima potência de uma matriz de ordem 2 diagonalizável e com isso resolvemos relações de recorrência lineares da forma x_{n+1} = ax_{n}+bx_{n?1}, em particular a sequencia de Fibonacci. Estudamos as cônicas representadas pela equação˜ ax^2 +2bxy+cy^2 + dx +ey+ f = 0, onde através de isometrias identificamos como sendo, uma elipse, hipérbole, parábola, ponto, reta, um par de retas paralelas ou concorrentes, e até mesmo o conjunto vazio. Finalizamos com a criptografia utilizando multiplicação de matrizes e o cálculo de matrizes inversas.
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