Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: RONALD SIMÕES DE MATTOS PINTO

CPII - Colégio Pedro II - Rio de Janeiro - RJ

Dissertação

Título
NOTAS SOBRE IRRACIONALIDADE
Resumo
Neste trabalho exploramos três problemas independentes que tratam de números irracionais.O primeiro se refere à questão da irracionalidade de logaritmos de números reais de base inteira. No segundo problema, estuda-se a natureza (quanto a racionalidade) das raízes reais da equação a^x = x^a, com a maior ou igual a 2 inteiro não necessariamente primo e da equação a^f(x) = (f(x))^a, onde a , maior ou igual a 2, é um inteiro e f é uma função polinomial com coeficientes inteiros. O terceiro problema examina a questão da comensurabilidade entre a medida do lado e a medida de uma diagonal de um polígono regular. Em última análise, tais problemas se reduzem a decidir pela racionalidade ou irracionalidade de um número real. Duas ferramentas foram essenciais para este fim: o Teorema Fundamental da Aritmética e o critério de pesquisa de raízes racionais de funções polinomiais com coeficientes inteiros. O texto apresenta várias provas de irracionalidade em que foram oportunamente evocados diversos tópicos da matemática. Por fim, é proposta uma de atividade para alunos do Ensino Médio que visa o entendimento de demonstrações geométricas de incomensurabilidade.
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