Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: THIAGO DE OLIVEIRA MARTINS

UEMS - Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul - Dourados - MS

Dissertação

Título
Sistemas de EDO's Lineares e N~ao Lineares
Resumo
Iniciamos o estudo com o objetivo fundamental de entender o comportamento global dos sistemas de equações diferenciais lineares no plano. Primeiramente, estudamos os possíveis pontos de equilíbrio que ocorrem nos sistemas lineares, tais como, sela, foco, nó e centro e encontramos a solução analítica para cada caso. Em seguida, mostramos os possíveis retratos de fases globais para cada caso. Com isso, abordamos mais de perto a teoria qualitativa das EDO'S, estudando qualitativamente os sistemas não-lineares, perante os quais a solução analítica nem sempre é possível de ser encontrada. Para isso, vamos inicialmente entender que há um campo de vetores associado a um sistema de equações diferenciais ordinárias. Nesse estudo estamos preocupados com aqueles campos denidos em R2. Em seguida, denimos conjugação e equivalência entre campos vetoriais. Tal denição é necessária para entendermos o Teorema do Fluxo Tubular no qual é feito um estudo local dos pontos regulares do sistema (são os pontos onde o sistema não se anula) e o Teorema de Hartman-Grobman que caracteriza um sistema não-linear próximo a um ponto de equilíbrio hiperbólico, partir de sua linearização. Esses dois teoremas são muito importantes no estudo da teoria qualitativa das EDO's. Vale ressaltar que para os casos em que os pontos de equilíbrios não são hiperbólicos, isto é, o Teorema de Hartman-Grobman não se aplica, é muito difícil de entender o comportamento local das soluções próximo aos pontos de equilíbrio e esses estudos são realizados como pesquisa em nível de pós-graduação.
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