Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: GABRIEL MAGALHAES REIS

UnB - Universidade de Brasília - Brasília - DF

Dissertação

Título
Sobre as curvas Tautócrona e Braquistócrona, Teorema da Desigualdade Isoperimétrica e Teorema dos Quatro Vértices
Resumo
Este trabalho tem como objetivo facilitar o entendimento por parte de professores ou mesmo do leitor entusiasta a problemas famosos que já possuem diversas demonstrações, mas que geralmente essas demonstrações são tão complexas que afastam a maior parte dos leitores. Tratamos aqui de cada ponto que é necessário para um completo entendimento do leitor, tentando sempre diminuir a segregação do conhecimento. Portanto tenho como missão neste trabalho tornar a geometria diferencial mais acessível aos professores e leitores em geral. No capítulo 1 faremos uma breve introdução, fornecendo considerações iniciais e informando a metodologia utilizada nessa dissertação. No capítulo 2 trabalharemos com os conceitos usados neste trabalho, tais como derivadas, integrais, equações diferenciais ordinárias, equações diferenciais parciais, lagrangiana, funções de classe C?, polinômios de Taylor e sobre a curva ciclóide. No capítulo 3 trabalharemos os conceitos da Geometria Diferencial, a fim de que o leitor se sinta mais confortável com as demonstrações realizadas nos capítulos subsequentes. No capítulo 4 informaremos sobre a Equação de Euler-Lagrange e sobre a Identidade de Beltrami e realizando as respectivas demonstrações. No capítulo 5 estudaremos a curva Braquistócrona, sua história, definição e demonstração. No capítulo 6 estudaremos a curva Taltócrona, sua história, definição e demonstração. No capítulo 7 estudaremos sobre a Desigualdade Isoperimétrica, inserindo o leitor no contexto histórico da discussão, trabalharemos a definição e a demonstração geométrica do problema em questão. No capítulo 8 trataremos sobre um dos problemas mais famosos da geometria diferencial, o Teorema dos Quatro Vértices, tal teorema nesse capítulo estará definido, terá o seu contexto histórico bem inserido e sua demonstração realizada. Porém saliento ao leitor que para que consiga compreender a demonstração em sua totalidade que revise os conceitos de geometria diferencial trabalhados aqui no capítulo 3. Além disso é necessário que o leitor tenha um bom conhecimento em geometria analítica, geometria plana, uma boa gama de conhecimento em Cálculos em várias variáveis e conhecimento em Análise Real. No capítulo 9 faremos as considerações finais e as recomendações para pesquisas futuras.
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