Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: JUCI MELIM JUNIOR

UnB - Universidade de Brasília - Brasília - DF

Dissertação

Título
Contagem de Semigrupos Numéricos de mesmo Gênero por meio de Gapsets
Resumo
O principal objetivo do presente trabalho é estudar o comportamento dos semigrupos numéricos com profundidade menor que ou igual a 3 e gênero fixado, por meio das características do conjunto de suas lacunas (gapsets). Em 2008, Maria Bras-Amorós os apresentou três conjecturas sobre semigrupos numéricos, quais sejam: 1) O número de semigrupos numéricos de gênero g fixado é maior que ou igual à soma do número de semigrupos com gênero g-1 e g-2; 2) o limite da razão entre o número de semigrupos de gênero g sobre o número de semigrupos de gênero g-1, quando g tende ao infinito, é a razão áurea; e 3) o limite da razão entre a soma do número de semigrupos de gênero g-1 e g-2 pelo número de semigrupos de gênero g, quando g tende ao infinito, é 1. Zhai demonstrou que as duas últimas conjecturas realmente procedem usando o fato de que a maioria dos semigrupos numéricos de gênero fixado são tais que sua profundidade é menor que ou igual a 3. A primeira conjectura segue em aberto. Mesmo uma versão mais fraca dela, que diz que o número de semigrupos numéricos de gênero g fixado é não decrescente em função de g, ainda não foi provada (Zhai demonstrou que essa desigualdade vale para gêneros suficientemente grandes). No presente trabalho, vamos apresentar os principais resultados de Eliahou e Fromentin para o caso em que a profundidade é menor que ou igual a 3. Esses autores demonstraram, entre outras coisas, que a primeira conjectura de Bras-Amorós vale quando são considerados apenas os semigrupos com profundidade menor que ou igual a 3. Esse resultado permite avançar na busca pela demonstração da conjectura e amplia os horizontes dessa área da Teoria dos Números.
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