Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: DENISE RAMOS DA SILVA

UFOP - Universidade Federal de Ouro Preto - Ouro Preto - MG

Dissertação

Título
A EQUAÇÃO DE PITÁGORAS MÓDULO PRIMO
Resumo
As triplas de números inteiros positivos (x; y; z) que satisfazem a equação de Pitá- goras x2 + y2 = z2 são chamadas de triplas pitagóricas. Por outro lado, para n ? 3, a equação xn + yn = zn é conhecida como equação de Fermat. Nessa dissertação, vamos descrever todas as triplas pitagóricas e mostrar que a equação de Fermat com n = 4 não tem solução. Contudo, o objetivo principal desse trabalho é calcular o número de soluções da equa- ção de Pitágoras módulo um primo p, isto é, x2 + y2 ? z2 (mod p): Vamos provar que, embora tomando caminhos distintos para os casos p = 2; p ? 1 (mod 4) e p ? 3 (mod 4), o número de soluções é sempre p2. O principal argumento usado é o símbolo de Legendre. Para isso, vamos obter diversas reduções que simplificam o problema. Vamos também discutir alguns problemas relacionados e mostrar como nossa solução pode ser generalizada.
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