Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: IRIS GRASIELE CARDOSO PINTO

FUFS - Universidade Federal de Sergipe - Aracaju - SE

Dissertação

Título
Frações Contínuas: Uma ferramenta para entender números reais
Resumo
Dentre as inúmeras formas de representar os números reais, tratamos neste trabalho de uma das mais utilizadas, as frações contnuas. Inicialmente, trazemos alguns conceitos basicos e classicamo-as em frac~oes contnuas nitas ou innitas. Denimos e indicamos como calcular o n-esimo convergente, demonstrando algumas de suas propriedades. Dentre elas, mostramos que a sequ^encia dos convergentes de ndice par e decrescente e a, dos ndices mpares e crescente, o que garante que a aproximac~ao entre convergentes consecutivos tenda a zero. Fato que faz com que a sequ^encia dos convergentes congure uma sequ^encia de Cauchy. Em seguida demonstramos que a sequ^encia de denominadores dos convergentes e estritamente crescente. Apresentamos as relac~oes entre numeros racionais e numeros irracionais com frac~oes contnuas nitas e innitas, respectivamente. Fazemos uso, ainda, das propriedades de seus convergentes para trazer signicado aos numeros reais, em especial aos numeros irracionais. Denimos frac~oes contnuas innitas periodicas. Demonstramos que todo numero irracional associado a uma frac~ao contnua innita periodica e raiz de uma equac~ao de segundo grau com coecientes inteiros. Alem disso, analisamos as razes de tais equac~oes e vericamos que uma e o inverso da outra.
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