Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: RUBEN BECKER FILHO

UFPR - Universidade Federal do Paraná - Curitiba - PR

Dissertação

Título
UMA ABORDAGEM GEOMETRICA PARA A CONSTRUÇÃO DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS
Resumo
O objetivo desta dissertação é apresentar a função logarítmica e, a partir dela, a função exponencial, utilizando-se conceitos fundamentais e uma abordagem geométrica através da hipérbole de equação y = 1/x , contando-se ainda com o auxílio de conceitos de Análise Real. Para isso, elaborou-se a função logarítmica partindo-se da sua definição. A seguir, estudou-se a área sob a hipérbole no 1o quadrante, que resulta numa importante propriedade descoberta no século XVII pelo padre jesuíta Grégoire de Saint-Vincent, que define faixas da hipérbole com áreas iguais. Baseando-se nesta propriedade, o também padre jesuíta Alphonse Antonio de Sarasa, discípulo de Saint-Vincent, encontrou uma relação logarítmica entre as abscissas que delimitam as faixas da hipérbole e as áreas destas faixas, dando origem ao conceito de logaritmo natural e, consequentemente, à função logarítmica y = ln x . Utilizando-se a hipérbole e o logaritmo natural, define-se o número e . Na sequência, verifica-se que y = e^x é a inversa de y = ln x , e, portanto, uma função exponencial. Através da mudança de base de logaritmos, obtém-se a função y = log_a x de base a diferente de e , com particular atenção ao estudo dos logaritmos decimais. Baseando-se na definição, obtém-se a função exponencial y = a^x , com a diferente de e. Por fim, é demonstrado o limite clássico lim (1 + 1/n)n = e. n→+∞ Devido à utilização de sequências, séries e limites ao longo deste trabalho, fez-se necessário o estudo de Análise Real.
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