Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: LUCAS DE MELO PONTES E SILVA

FUFS - Universidade Federal de Sergipe - Aracaju - SE

Dissertação

Título
Funções Convexas e as Transformadas de Legendre e Fenchel
Resumo
O presente trabalho aborda os principais elementos da análise convexa em espaços vetoriais de dimensões finita e infinita. Em dimensão finita, introduz-se conceitos básicos sobre espaços vetoriais e topologia de conjuntos para desenvolver a teoria dos conjuntos convexos. Então define-se os conjuntos convexos e suas propriedades apresentando exemplos de operações que preservam convexidade, conjuntos convexos clássicos e o importante teorema da separação por hiperplano. Em seguida, o trabalho apresenta as funções convexas e suas propriedades, das quais podemos destacar a continuidade em subconjuntos abertos e a existência da derivada direcional. O arcabouço teórico desenvolvido permite apresentar a transformada de Legendre para o caso de funções convexas de classe C^1 e a transformada de Fenchel para o caso de funções convexas n˜ao suaves. Apresenta-se aplicações da transformada de Legendre, em especial, na formulação de equações da mecânica clássica além uma tabela com funções e transformadas. Em dimensão infinita, introduz-se conceitos topológicos e propriedades de espaços métricos, continuidade, Teorema de Bolzano-Weierstrass, espaços de Hilbert e Banach e o Teorema de Hahn-Banach. O trabalho segue definindo pontos interiores, conjuntos e funções convexas em espaços de Hilbert, definindo importantes propriedades, em especial, a existência da conjugada nesse espaço. Por fim, apresenta-se aplicação da desigualdade de Jensen para resolução de problemas olímpicos do Ensino Médio.
[Download TCC]

---