Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: JULIO CESAR COSTA

UFU - Universidade Federal de Uberlândia - Uberlândia - MG

Dissertação

Título
A inversão geométrica
Resumo
O tema estudado nessa dissertação é a inversão geométrica, uma importante transformação que permite converter problemas aparentemente complicados em problemas análogos, mas com soluções mais simples. Por exemplo, permite demonstrar de forma simples e elegante o Teorema de Ptolomeu, a fórmula de Euler, o Teorema de Feuerbach, todas essas aplicações serão apresentadas no Capítulo 3. O texto estrutura-se em três capítulos. O Capítulo 1 é destinado aos conceitos preliminares, apresenta a caracterização da posição relativa de duas circunferências no plano, o conceito e a construção com régua e compasso das circunferências ex-inscritas aos lados de um triângulo, as construções geométricas das retas tangentes comuns a duas circunferências, bem como os conceitos de potência de um ponto em relação a uma circunferência e de pontos conjugados harmônicos em relação a dois pontos dados. O Capítulo 2 é destinado a definição da inversão geométrica e ao amplo estudo de suas propriedades, apresenta a caracterização do que ocorre com retas e circunferências quando submetidas a uma inversão, estuda a propriedade involutiva e a preservação de ângulos dessa transformação, apresenta a equivalência entre pontos inversos e conjugados harmônicos, bem como a caracterização de que uma circunferência é invariante pela inversão se e somente se é ortogonal à circunferência de inversão. O capítulo 3 é destinado às aplicações da Inversão geométrica citadas anteriormente e apresenta ainda, a construção com régua e compasso dos pontos de intersecção de uma reta com uma hipérbole e a solução de um problema de construção de triângulo. Para finalizar esperamos que este texto rico em ilustrações, fomentado com muitos exemplos e aplicações, embasado em sólida fundamentação teórica, contribua para um melhor entendimento dos aspectos matemáticos teóricos e geométricos das inversões em circunferências e seja uma referência para todos os estudantes que pretendam aprofundar seus estudos nesse tema.
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