Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: CARLOS ALBERTO DE SOUZA

UFRPE - Universidade Federal Rural de Pernambuco - Recife - PE

Dissertação

Título
A soma dos Ângulos Internos de um Triângulo Hiperbólico e o Quinto Postulado de Euclides
Resumo
Desde o ensino fundamental o aluno aprende que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a ? e, para este aluno, isso é uma verdade absoluta. Nem todos terão a oportunidade de verificar que este fato só é verdadeiro no plano euclidiano e que é uma consequência direta do 5º postulado de Euclides, o postulado das paralelas. Neste trabalho, vamos mostrar que essa soma depende do plano no qual o triângulo está contido. Abordamos apenas a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo na geometria hiperbólica, para podermos compará-la com a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo euclidiano. Iniciamos o trabalho com um rápido relato sobre esse postulado, o qual levou inúmeros matemáticos a cometerem erros na tentativa de demonstrá-lo. Mostramos que, mesmo não tendo sido valorizados quando Saccheri ainda estava vivo, seus estudos foram muito influentes para a descoberta das geometrias não euclidianas. Para alcançarmos os objetivos do nosso trabalho, construímos uma base axiomática bem próxima da proposta por Hilbert e, juntamente com as propriedades existentes no quadrilátero de Saccheri, demonstramos que na geometria hiperbólica, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é menor do que ?. No apêndice, apresentamos os modelos de Beltrami, de Klein e de Poincaré para a geometria hiperbólica, destacando o modelo de disco de Poincaré, pois o mesmo é parte integrante de um dos problemas propostos para os alunos do ensino médio, construir no Geogebra um triângulo hiperbólico e movimentar um de seus vértices verificando o que ocorre. Apresentamos também outro problema, no qual o aluno deve construir um triângulo euclidiano e também movimentar um de seus vértices, verificando que, neste caso, a soma permanece igual a p.
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