Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: MARCELO RODRIGUES NUNES DANTAS

UFPB - Universidade Federal da Paraíba - João Pessoa - PB

Dissertação

Título
Sobre o número ?
Resumo
Por mais de 2500 anos, muitos dos grandes matemáticos se interessaram na natureza e nos mistérios do fascinante número ? , mentes brilhantes como Arquimedes, Euler, Gauss, Abel, Jacobi, Weierstrass, entre outros. Neste trabalho estudaremos algumas das propriedades fundamentais que caracterizam o número ?. Iniciamos nossa monografia provando que a razão entre o comprimento de uma circunferência arbitrária e seu diâmetro é constante. Para isto, usamos a completude dos números reais. Tal constante é precisamente o número ?. O Capítulo 2 é dedicado ao estudo da irracionalidade de ?. Apresentamos três provas, a clássica, devida a Lambert, e duas provas mais modernas de Cartwright e Ivan Niven. Além de ser irracional, o número ? é transcendente, isto é, não existe um polinômio não nulo com coeficientes racionais que tenha ? como raiz. Tal fato foi demonstrado inicialmente por Lindemann e como consequência, o problema clássico da quadratura do círculo não tem solução. No capítulo 3 apresentamos, sem prova, um resultado mais geral, o celebrado Teorema de Lindemann-Weiertrass que tem como corolário, a transcendência de ?. Finalmente, no capítulo 4, a cronologia, curiosidades, aproximações e séries sobre ? são estudadas.
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