Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: JOSE EDSON DE SOUSA FILHO

UFCA - Universidade Federal do Cariri - Juazeiro do Norte - CE

Dissertação

Título
EQUIDECOMPOSIÇÃO DE FIGURAS E O TERCEIRO PROBLEMA DE HILBERT
Resumo
O presente trabalho tem por objetivo exibir a soluçãp de Max Dehn para o terceiro problema de Hilbert, que é o seguinte questionamento “existem duas figuras no espaço que não são equivalentes por dissecção e têm o mesmo volume?”. Figuras equivalentes por dissecção também são chamadas de equidecompostas. O trabalho édividido em três capítulos: No primeiro é feita uma breve introdução sobre unidades de medida tanto de comprimentos como de áreas e em seguida é construída uma função que mede a parte do plano ocupada por uma figura, esta função é denominada de função área. No segundo capítulo são estudados os polígonos equivalentes por dissecção, isto é, aqueles que podem ser formados um a partir do outro dividindo-se um deles em um número finito de partes que não se sobreponham e que, quando reposicionadas no plano de modo a também não se sobreporem, essas partes formem o outro polígono. É feita ainda a demonstração do teorema de Bolyai-Gerwien, que estabelece a área de uma figura plana como invariante para a equivalência por dissecção. No terceiro capítulo, trataremos da equivalência por dissecção no espaço, com uma abordagem sobre a Proposição 5 do livro XII de “Os Elementos” de Euclides e sobre o terceiro problema de Hilbert, exibindo a solução de Max Dehn para esse problema. Uma característica importante na demonstração de Max Dehn é o uso de elementos de um grupo abeliano como invariantes para a equivalência por dissecção. Uma consequência do Teorema de Dehn é que o princípio da exaustão é necessário no estudo do volume de pirâmides.
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