Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: JOSÉ ROBERTO PENACHIA PARREIRA

UFG - Universidade Federal de Goiás - Goiânia - GO

Dissertação

Título
Poliedros e o Teorema de Euler
Resumo
Este trabalho tem por objetivo a demonstração do Teorema de Euler para poliedros, dado pela equação V ? A + F = 2, onde V, A e F são os números de vértices, arestas e faces, respectivamente, do poliedro. Foi elaborada uma pesquisa histórica dos principais personagens que contribuiram para o tema. Foram dadas definições e propriedades de polígonos e poliedros. As demonstrações foram construídas em três caminhos distintos. A primeira por Cauchy, comentada pelo professor Elon Lages Lima. Esta demonstração é válida para qualquer poliedro homeomorfo a uma esfera e tem como caminho a planificação do poliedro retirando-se uma de suas faces. A segunda demonstração foi elaborada pelo professor Zoroastro Azambuja Filho, válida para qualquer poliedro convexo e tem como caminho a projeção do poliedro num plano e a comparação dos ângulos internos dos polígonos da projeção com os ângulos dos polígonos das faces. A terceira demonstração foi apresentada por Legendre, também válida para qualquer poliedro convexo e tem como caminho a projeção do poliedro em uma superfície esférica. Utiliza-se a Fórmula de Girard, da soma dos ângulos internos de um triângulo esférico, para concluir a demonstração. Este trabalho também sugere metodologias de aplicação da demonstração do Teorema de Euler em sala de aula, para alunos do Ensino Médio, e resolução de exercícios de vestibulares envolvendo o tema.
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