Detalhes - Dissertação do PROFMAT

Aluno: CARLOS HENRIQUE SALES MARTINS

UFC - Universidade Federal do Ceará - Fortaleza - CE

Dissertação

Título
Desigualdade Isoperimétrica: Aspectos Históricos e uma Abordagem para o Ensino Médio.
Resumo
Um dos teoremas mais antigos em geometria, estando ligado ao cálculo das variações é o problema isoperimétrico. Onde ele relaciona seu perímetro com a sua área e é dito: “ Dentre todas as curvas simples fechadas no plano com um lado de comprimento L, qual delas limita a maior área?” Deste modo, o problema era conhecido pelos gregos, que conheciam uma possível solução: um círculo. No entanto, passou-se muito tempo para que surgisse uma prova satisfatória deste fato ser a solução para o problema da desigualdade isoperimétrica. A razão principal era porque nas primeiras tentativas assumia-se que a solução deveria existir, mas somente por volta de 1870 que Karl Wilhelm Theodor Weierstraß, mais conhecido como Karl Weierstrass, observou que muitas questões similares não tinham solução e conseguiu fornecer uma prova completa dessa existência para o problema isoperimétrico. A prova de Weierstrass era sobretudo deveras difícil pois se tratava de um corolário de sua teoria sobre maximização e minimização de certas integrais, esse é um do motivos pelos quais o problema isoperimétrico é um clássico problema de cálculo das variações. Pitorescamente, a origem desse problema se remota a fundação da cidade de Cartago, por elissa ( chamada de Dido ou até mesmo Elisa), onde ela poderia comprar uma parte de terra na qual poderia cercar com o couro de uma vaca. Ela cortou em finas camadas o couro, ligou as pontas e com base em sua intuição feminina, fez um grande circulo onde aprimorou fazendo um semi circulo tendo a base um Rio, onde muitas cidades posteriormente fizeram o mesmo. Nosso objetivo é apresentar o problema, fazendo três demonstrações: uma geométrica, uma por Teorema de Green e outra por séries de Fourier, seguindo por problemas aplicados em geometria plana no ensino médio.
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